飞雪团队

 找回密码
 立即注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 250|回复: 0

贝叶斯推断及其互联网应用(一):定理简介

[复制链接]

1802

主题

1857

帖子

7268

积分

管理员

Rank: 9Rank: 9Rank: 9

积分
7268
发表于 2020-8-12 23:23:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
一年前的这个时候,我正在翻译Paul Graham的《黑客与画家》。
                                                                                                                那本书的第八章,写了一个非常具体的技术问题----如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件(英文版)。
我没完全看懂那一章。当时是硬着头皮,按照字面意思把它译出来的。虽然译文质量还可以,但是心里很不舒服,下决心一定要搞懂它。
一年过去了,我读了一些概率论文献,逐渐发现贝叶斯推断并不难。原理的部分相当容易理解,不需要用到高等数学。
下面就是我的学习笔记。需要声明的是,我并不是这方面的专家,数学其实是我的弱项。欢迎大家提出宝贵意见,让我们共同学习和提高。
=====================================
贝叶斯推断及其互联网应用
作者:阮一峰
d485ed4825f5c8b1df2dad2826718262.jpg

一、什么是贝叶斯推断
贝叶斯推断(Bayesian inference)是一种统计学方法,用来估计统计量的某种性质。
它是贝叶斯定理(Bayes' theorem)的应用。英国数学家托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes)在1763年发表的一篇论文中,首先提出了这个定理。
bf2926f8370115fb808b41ca29754db2.jpg

贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上,也就是说,你可以不需要客观证据,先估计一个值,然后根据实际结果不断修正。正是因为它的主观性太强,曾经遭到许多统计学家的诟病。
贝叶斯推断需要大量的计算,因此历史上很长一段时间,无法得到广泛应用。只有计算机诞生以后,它才获得真正的重视。人们发现,许多统计量是无法事先进行客观判断的,而互联网时代出现的大型数据集,再加上高速运算能力,为验证这些统计量提供了方便,也为应用贝叶斯推断创造了条件,它的威力正在日益显现。
二、贝叶斯定理
要理解贝叶斯推断,必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算"条件概率"的公式。
所谓"条件概率"(Conditional probability),就是指在事件B发生的情况下,事件A发生的概率,用P(A|B)来表示。
5700e0d4c6f731b40c9826be23b3e9a4.jpg

根据文氏图,可以很清楚地看到在事件B发生的情况下,事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。

因此,

同理可得,

所以,



这就是条件概率的计算公式。
三、全概率公式
由于后面要用到,所以除了条件概率以外,这里还要推导全概率公式。
假定样本空间S,是两个事件A与A'的和。
5757a1df37891f4da3df400aa4c62b3d.jpg

上图中,红色部分是事件A,绿色部分是事件A',它们共同构成了样本空间S。
在这种情况下,事件B可以划分成两个部分。
ddaf11ca8c84488fc9e4abf649d107e5.jpg



在上一节的推导当中,我们已知

所以,

这就是全概率公式。它的含义是,如果A和A'构成样本空间的一个划分,那么事件B的概率,就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
将这个公式代入上一节的条件概率公式,就得到了条件概率的另一种写法:

四、贝叶斯推断的含义
对条件概率公式进行变形,可以得到如下形式:

我们把P(A)称为"先验概率"(Prior probability),即在B事件发生之前,我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"(Posterior probability),即在B事件发生之后,我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"(Likelyhood),这是一个调整因子,使得预估概率更接近真实概率。
所以,条件概率可以理解成下面的式子:
  后验概率 = 先验概率 x 调整因子
这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率",然后加入实验结果,看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率",由此得到更接近事实的"后验概率"。

在这里,如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1,意味着"先验概率"被增强,事件A的发生的可能性变大;如果"可能性函数"=1,意味着B事件无助于判断事件A的可能性;如果"可能性函数"五、【例子】水果糖问题
为了加深对贝叶斯推断的理解,我们看两个例子。
417692cd3375c542a26d3b66485547c5.jpg

第一个例子。两个一模一样的碗,一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖,二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗,从中摸出一颗糖,发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大?
我们假定,H1表示一号碗,H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的,所以P(H1)=P(H2),也就是说,在取出水果糖之前,这两个碗被选中的概率相同。因此,P(H1)=0.5,我们把这个概率就叫做"先验概率",即没有做实验之前,来自一号碗的概率是0.5。
再假定,E表示水果糖,所以问题就变成了在已知E的情况下,来自一号碗的概率有多大,即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做"后验概率",即在E事件发生之后,对P(H1)的修正。
根据条件概率公式,得到

已知,P(H1)等于0.5,P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率,等于0.75,那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式,

所以,

将数字代入原方程,得到

这表明,来自一号碗的概率是0.6。也就是说,取出水果糖之后,H1事件的可能性得到了增强。
六、【例子】假阳性问题
第二个例子是一个医学的常见问题,与现实生活关系紧密。
68dc7a1a30019580bc680ced468d9a46.jpg

已知某种疾病的发病率是0.001,即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病,它的准确率是0.99,即在患者确实得病的情况下,它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%,即在患者没有得病的情况下,它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性,请问他确实得病的可能性有多大?
假定A事件表示得病,那么P(A)为0.001。这就是"先验概率",即没有做试验之前,我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性,那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率",即做了试验以后,对发病率的估计。
根据条件概率公式,

用全概率公式改写分母,

将数字代入,

我们得到了一个惊人的结果,P(A|B)约等于0.019。也就是说,即使检验呈现阳性,病人得病的概率,也只是从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的"假阳性",即阳性结果完全不足以说明病人得病。
为什么会这样?为什么这种检验的准确率高达99%,但是可信度却不到2%?答案是与它的误报率太高有关。(【习题】如果误报率从5%降为1%,请问病人得病的概率会变成多少?)
有兴趣的朋友,还可以算一下"假阴性"问题,即检验结果为阴性,但是病人确实得病的概率有多大。然后问自己,"假阳性"和"假阴性",哪一个才是医学检验的主要风险?
===================================
关于贝叶斯推断的原理部分,今天就讲到这里。下一次,将介绍如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件。
(未完待续)
回复

使用道具 举报

懒得打字嘛,点击右侧快捷回复 【右侧内容,后台自定义】
您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

本版积分规则

手机版|飞雪团队

GMT+8, 2020-10-2 05:46 , Processed in 0.057521 second(s), 27 queries , Gzip On.

Powered by 飞雪团队

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表